• Shigeru Kondo

単行本用: フィボナッチらせんの謎<ロシアンヒマワリの逆襲>




恐怖?のロシアンヒマワリ登場

ロシアヒマワリ、というのをご存じだろうか?百聞は一見に如かずと言うから、まず下の写真を見ていただこう。どうでしょう?そうです。とんでもなくでかいんです。

ロシアンヒマワリの花

子供はおろか、大人の顔よりはるかにおおきい。大きさを競う大会まであるようで、優勝クラスは、花の直径が80cmくらいになるとか。当然、花だけでなく植物全体が巨大になり、高さも6mくらいまで育つらしい。さすがはプーチンの国の植物だけのことはある。(関係ないか・・・・)このロシアンヒマワリ、種屋さんから購入可能らしいので、広いお庭を持っている皆さん、是非、挑戦してみて下さい。

  

さて、このロシアンヒマワリの何が恐怖なのか、というと、実は、この巨大植物のおかげで、困った事態が発生したのである。解決済み、と思っていた生物学の問題が、振りだしに戻ってしまったようなのである。

 

植物にかかったフィボナッチの呪い

問題というのは、このヒマワリの花の種がつくる螺旋の列である。キク科の植物の花の種を見ると、どれも、きれい螺旋を描いて並んでいるのだが、この、螺旋の列を数えてみると、不思議なことに、フィボナッチ数になっている。この不思議な事実は、驚くほど普遍的であり、キク科の小さい花であればまず間違いなく螺旋の列はフィボナッチになっている。キク科の花以外でも、松ぼっくりの種もそうだし、パイナップルの皮の模様もそうだ。


松ぼっくりの螺旋 8-13のフィボナッチ数

コーンフラワーの螺旋 21-34のフィボナッチ数

フィボナッチ数は、最初のうちは1,2,3,5,8と続く。これくらいの小さい数であれば、「偶然」、と思うことも可能だが、21、34となると、偶然とは考えづらい。どこかに、フィボナッチ数になる必然性があるはずなのだが、数列と種の螺旋の列のあいだのつながりが、さっぱり思いつかな。あまりにもわからないので、なんだか、超自然の摂理?が働いているんじゃないか、という気分にさえなってくるのだ。

 

このフィボナッチらせん列の問題は、古くから数学者や生物学者、さらには多くの一般人を虜にしてきた。 20世紀を代表する天才数学者アラン・チューリングの残したノートにも、フィボナッチらせん列の記述が残されており、彼が、非常に重要な問題(例えば、リーマン予測の証明とか)と同じように興味を持っていたことが解る。しかし、如何にチューリングが天才でも、この問題は数学だけでは解けない。解決するには、数学と生物学の共同作業が必要なのである。




生物学で解っていることの概略

ここ10数年、植物の分子生物学は驚くほどの速さで進歩し、植物の形態ができる原理がおおよそ明らかになっている。そのため、この不思議な現象が起きる仕組みについて、想像ではなく、実験データをベースにして考えることが可能になってきている。

 

植物の葉や花や種のもとになる細胞の塊を「原基」と呼ぶ。ほとんどの植物では、原基は、茎の先端にある成長末端の周囲に、螺旋を描いて回転しながら出現する。なぜそうなるかは、下の図を見ていただきたい。




植物では、成長末端の中心部だけで細胞分裂が起きる。左の図では、ドーム状の構造の頂点部位。右の、上から見た模式図では、黒い点を含む一番内側の円の領域である。この中心部では、分裂だけが起き、原基への分化は起きない。原基への分化が起きるのは、その外側にあるリング状の領域である。

 

中心部で連続的に分裂が起きるので、周囲にある古い細胞は、押し出されてだんだんと外側に移動していくことになる。もちろん、分化領域でできた新しい原基も、外側に移動していく。

 

では、新しい原基ができる位置とタイミングはどうやってコントロールされているのだろうか?

 

新しい原基ができるためには、植物ホルモンであるオーキシンが、一定以上の濃度で存在することが必要である。オーキシンは、全ての細胞が生産しているので、本来、どこにでもある。しかし、原基の細胞は、周囲からオーキシンを吸い上げるという性質を持っている。(上左の図の矢印でオーキシンの移動が表現されている) だから、原基の近傍では、オーキシンの濃度が下がってしまい、新たな原基が作られることは無い。つまり、新しくできた原基は、その近傍で他の細胞が原基に分化するのを阻害するのである。


左の図では、2つの古い原基の阻害効果の及ぶ領域が、新しい原基が出現できるリング状の領域を完全に覆ってしまっている。この状態では、新しい原基はできない。しかし、少し時間が経った右の図では、古い原基が、外側に移動しているため、リング状の領域の一部で、阻害効果が働かなくなっている。その位置で、新しい原基が出現するのである。

 

この仕組みであれば、新しい原基が出現する位置は、①古い原基の位置。②阻害効果の及ぶ距離、の2つの因子に依存することになる。言い換えれば、この関係をベースにして、生物学的なデータに基づいた数理モデルが作れるようになったのだ。

 

フィボナッチらせん列を作るための数学的な条件

では、どんな条件を満たす数理モデルを作ればよいだろうか?実は、フィボナッチらせん列を作図する方法は、ものすごく単純なのである。新しい葉の原基が、一つ前の原基に対して、黄金角(137.509・・・度)だけ回転した場所に出現すればよい。言葉で説明するのは難しいので下図に示す。


フィボナッチらせんの簡単な作り方

この方法では、実際の生長末端の様子に合わせて、新しい原基が、一番内側にできて、古い原基が外側に押し出されるようにしているが、


原基の角度と位置を決める式


このように(上図右)、原基のナンバリングを逆にして、新しい原基を外側に並べるようにしても、できる図形は同じである。その場合、全ての原基の位置は簡単なNの関数で決まるので、より、理解しやすい。

 

N番目の原基の位置を極座標で表現すると、

  角度=(N-1)x 黄金角

  中心からの距離=√N

  ただし、黄金角は137.509、、、度

 

N番目の原基の中心からの距離をNの平方根にしているのは、そのように決めると、均一な密度で原基が分布するからである。この式に従って、大きなNに対して作図すると、


単純な数式でできるフィボナッチらせん列

このようになる。原基はきれいに並び、螺旋の列も、ちゃんとフィボナッチ数になるのである。

 

何故、黄金角にそんな性質があるのか?という疑問が湧くだろうが、それについての詳しい説明は、ちょっと長くなるので、以前に書いたコラムを参照していただければありがたい。一応、黄金角とフィボナッチ数列の関係を説明しておくと、下の図のようになる。



フィボナッチ数列は、Nが十分大きい場合、公比が黄金比の等比数列であり、黄金角は円周を黄金比で分割したものである。つまり、フィボナッチと黄金角の2つは、ほとんど同じものなのだ。

 

フィボナッチらせん列のシミュレーション

上で示した生物学的な知見と数学的な条件を組み合わせると、以下の様な数理モデルができる。

生物学実験からわかった仕組みと数学的な条件の組み合わせ

新しい原基(N+1)の出現位置は、中心からの距離が固定されている(リング状の領域)ため角度だけで表現できる。一番わかりやすいのは一つ前(N)の原基との角度なので、それを回転角度と呼ぼう。回転角度を決める要因(パラメータと呼ぶ)は、オーキシン(植物ホルモン)の産生量、減衰速度、拡散速度と、原基が分化するために必要とされるオーキシンの濃度である。これらの値は、遺伝子で、ある程度自由に決めることができる。だから、数理モデルでは、自由な値を選べると考えてよい。

 

以上から、数理モデルを使ってやるべきことは、回転角度が黄金角に収束するパラメータ値を解析的に見つけるか、シミュレーションでそれが可能であることを示すか、である。どちらも可能であるが、細胞分裂の生理学的な条件まで組み込んだ、かなり精密なシミュレーションがあるので、それをご覧になっていただこう。(論文はProc Natl Acad Sci USA. 2006;103(5):1301–1306.)動画はココ



回転角度は最初は不安定ですが、だんだんと、黄金角に収束していきます。


このシミュレーションでは、細胞の分裂、変形、周辺部への移動も、生理学的、力学的条件を取り込んでシミュレーションしている。細かい条件の説明は省くが、上のシミュレーション結果の連続写真に示すように、回転角度が黄金角に収束することが解る。

 

というわけで、原基が出現する回転角度を黄金角にする原理は、関係する遺伝子の活性を適当に制御すれば作れるはずなのだ。で、黄金角になればフィボナッチらせん列はできるのだから、これで数学的には「証明終わり」となる。

 

ただ、筆者のような生物学者からすると、そんなにぴったりと「黄金角」を決めることができる、ということ自体が、なんだか胡散臭い。細胞が行う生命現象だから、そうそう正確な値を決めることは難しいだろう。しかし、上記の原理だと、らせん列の数を決める正確さは、角度決めの正確さに依存することになる。

 

らせん列の数が8とか13とかなら、角度が多少ずれても大丈夫だ。360/8=45なので、1度や2度狂っても問題ない。だが、34,55とかの、大きいフィボナッチ数になるヒマワリなら、間違いが高頻度で起きるはずである。そう予想して、実際のヒマワリの花を数えてみた。その結果、やはり、3分の1くらいのヒマワリの花では、螺旋に乱れが起きて、フィボナッチ数から外れていることが解った。予想通りである。うん、これなら納得!

 

以上が、前回のコラムの要約である。

一言でまとめると、

「植物が一定の角度(=黄金角)で原基を作っていけば、必然的にフィボナッチらせん列ができる。大きい花の場合の誤差も予測の範囲なので、まあ、この説明は正しいだろう」

となる。

 

さて、前置きがずいぶん長くなったが、ここからが、今回のコラムの本題である。

 

ロシアンヒマワリの場合、回転角度を非常に正確にしないと、フィボナッチ数が出てこない

だがしかし、ここでプーチンの刺客「巨大ロシアンヒマワリ」が立ちはだかる。ネットで手に入る写真を使って螺旋の数を一応数えてみたら、予想外に正確なのである。


ロシアンヒマワリのフィボナッチらせん

らせん列の数は何と89、144。3,4個のロシアンヒマワリの螺旋を数えてみたが、少なくとも89は全ての花で確認できた。この大きさにも関わらず、ちゃんとフィボナッチ数を保っている。上記の数理モデルによれば、花が大きければ大きいほど、誤差は大きくなり、フィボナッチ数から外れるはずなのに、、、、、


で、改めて、どの程度の角度の正確さが必要かを、調べてみた。


螺旋の数は、回転角度に極めて鋭敏に変化する

上図はN=391の場合である。回転角度が137.509(ほぼ黄金角)の時には、きれいな螺旋ができて、その数もフィボナッチ数になっている。しかし、角度をわずかに大きくするだけで、この配列は簡単に崩れてしまう。わずか0.05度変えるだけで、原基が重なってしまい片側の螺旋が辿れなくなってしまうのである。137.784度(黄金角よりも、わずか0.27度大きい)になると再び右向き、左向きの両方の螺旋が辿れるようになるが、その時のらせん列の数は、もはやフィボナッチ数ではない。

 

通常のヒマワリの34,55でも、これほど回転角度に鋭敏なのである。シミュレーションで試したところ、89,144だと0.02度の誤差さえも許されない。これはどう考えてもおかしい。たかだか細胞が起こす反応で、そんな正確な値が決められるわけがないのだ。

 

ということで、今までの「できた!」と思っていた証明では、<ありえないほどの正確さで黄金角を決める原理が必要である>ことを無視していたことが解ってしまったのだ。生物学の常識では、どう考えても不可能である。だとすれば、上記の説明は、根拠を失ってしまうことになる。


これが冒頭に述べたロシアンヒマワリの恐怖?である。問題は振り出しに戻ってしまったのだ。

  

詰め込み問題として解明できないか?

黄金角に頼れないとすれば、ほかの方法を探さねばならない。実は、上記の方法とは別の考えも古くから検討されてきた。そのやり方では、フィボナッチらせん列を一種の詰め込み問題として考える。

 

ヒマワリの種は、ほぼ同じ大きさであり、それが互いに接触して詰め込まれている状態、と言ってよいだろう。

任意の2次元領域に、同じ大きさの円を詰め込むと、領域の外形に依存して円が並び 列を作る。これを斜列線という。(下図)


斜列線のでき方

上図から、斜列線が複数の方向にできることが解ると思う。ヒマワリのフィボナッチらせん列も、斜列線の一種と考えることができる。

 

斜列線の数の遷移はフィボナッチ数列と同じ

実は、円筒の側面にできた斜列線とフィボナッチ数との間には、よく似た性質がある。下の図を見ていただきたい。


斜列線とフィボナッチ数列との関係

円筒の表面に同じ径の円(=原基)を詰め込み、それを一か所で切って広げたのが上の図である。(左右の境界の黒い縦線は、円筒上の同じ線であることに注意)

 

一番左の図では、ほぼ最密充填(一番隙間なく詰め込んだ場合)になっている。円の列が2種類(LとR)あるが、その数を数えてみると、3と5である。(L1とL4、R1とR6は同じ線なので、列の数はL=3,R=5となる)

 

これを、左右に少しづつ広げていくとどうなるか。周囲の原基との関係をできるだけ保ったまま広げていくと、一度、最密充填でなくなり(真ん中の図)から、再び最密充填(右の図)に移行する。この過程で、LとRの角度が、水平に近くなっていき、右の図の状況では、新しい列Sが出現している。このとき、新しい斜列線Sの数は、L+Rになるのである。(右図を見ながら、少し考えていただけると、これが必然であることがわかります。)

 

さらに、同じ操作を繰り返すこともできる。今度は、SとRに対して同じ操作をすれば、新しい線列Tが現れ、その数は、S+Rになる。つまり、新しい斜線列の数は、常に、古い2つの斜線列の和になる。これは、フィボナッチ数列の定義と同じになる。


ということは、一番最初に2:3とか、3:5とかの小さいフィボナッチ数で始めれば、その後は、場を広げて数が大きくなっても、必然的に、フィボナッチ数を保つ、というわけだ。

 

詰め込み法のヒマワリへの応用 

ヒマワリの場合、詰め込む場が円形になるが、上と似たような状況になるはずだ。

初期の原基の集団は、変形しながら外側に移動するはず

上図は、N=250, 300, 500の時の、数式の通りに作図したフィボナッチらせんである。(これらは、完成形を直接作図してしまっているから、連続成長の過程をシミュレートしたものではないことに注意。) Aの時の黄色の網掛けの部分は、B,Cと成長すると、上図の様に変形していくはずである。矢印で示すように、円周が広がっていくため、内側の原基が、外側の原基の隙間に入り込む。この様子は、長方形の場を広げていく過程とほぼ同じである。

 

詰め込み法の問題点

上で示したような原理により、斜列線の数が、大きくなってもフィボナッチ数を保てるのであれば、ロシアンヒマワリの問題は解決したことになる。小さい数のフィボナッチらせんは、”ほぼ”黄金角の回転角度で作れるし、その後は、斜列線の詰め込み原理で、大きなフィボナッチ数に必然的に遷移していくからだ。実際、これで「証明終わり」としている解説も多い。


しかし、この考え方にも、やはり、難点がある。斜列線の遷移が、本当にうまくいくのかどうかの証拠がないことだ。ここで、もう一度、長方形の場での斜列線の遷移を見てみよう。


最初にこの図を出した時の説明では、遷移は、必然的に1>2>3とおきる、としてしまっていたが、実はそうである保証はない。なぜなら、2は不安定だからだ。1と3は円が3角形を作って並んでおり、この並べ方を最密充填という。これ以上詰め込めないので、安定である。しかし、遷移途中の2の状態は、一見しっかりしているように見えるが、最密充填ではないので、2’の様に壊れてしまう可能性がある。

実際に、2の状態に並んだビー玉に、ちょっとショックを与える実験をすると、下の写真の様に、一部で、最密充填への変化が起こり、並びが乱れてしまう。



さらに、フィボナッチらせんができる時の原基の並びをよくよく見れば、


黄金角で作図したフィボナッチらせん

どこもかしこも、微妙に最密充填ではない中途半端な詰め込み方になっている。こんな並び方が、果たして安定だろうか?


斜列線の遷移を調べるシミュレーションを作る

悩んでいるだけでは先に進まないので、とりあえず、シミュレーションでやってみることにした。原基の動きを決めるアルゴリズムは、下図のように、できるだけ単純で、恣意的でないように選んだ。

原基の移動のルール

原基の動きは2種類に分けている。

 

まず、外縁にある原基(それ以上外側に原基がないもの)の場合。ヒマワリの花は徐々に大きくなるので、成長に伴い、外側に移動していくはずである。その方向なら、ほかの原基とぶつかる可能性はない。したがって、内側の原基よりも遅い速度で放射状に中心から遠ざかるように設定した。これは、まあ問題ないだろう。

 

次に、内側の原基であるが、詰め込みが起きるためには、外縁の原基よりも早く移動する必要がある。そのため、外縁原基の10倍の速度で、これも、放射方向に外側に移動させるようにした。しかし、ほとんどの場合は、すぐに別の原基に衝突するのでそこで止まることになる。衝突した後は、図のように、直角に方向を変えて移動し、別の原基と2度目にぶつかったところで止まる。

 

これだけである。これを、ちょっとづつ、ひたすら繰り返すとどうなるか、、、、


大きなフィボナッチ数への変化がちゃんと起きる

下図は、N=500の場合である。最初は、小さめのフィボナッチらせんを、作図法に従って作っておき、その後、上の移動ルールに従って外側への詰め込みを行う。

初期条件では、ある程度、原基の間に隙間があったのが、移動に伴い、徐々にコンパクトに詰め込まれていくのが解る。さらに、一番外側の原基もゆっくり、外側に動いていくので、詰め込まれ方を徐々に変えつつもフィボナッチらせんを維持したまま、リングが大きくなっていく。リングが細く、大きくなっても、意外に、破綻は起きない。一部の領域で、六方最密充填になりかけたりするが、外縁部の原基の間隔が広がり続けるので、最密充填は安定ではないようだ。つまり、このフィボナッチらせんのパターンは、どうやら、動的に安定らしい。そのため、34から89という大きなフィボナッチ数への遷移も無事に起きている。このような簡単なアルゴリズムで、大きなフィボナッチ数への遷移は、無事に起きるのである。う~ん、すごいぞフィボナッチ。

 

さらに意外な効果が、、、

さらに、次のシミュレーションでは、もっと意外なことが起きた。今度は、空いた中心の領域のランダムな位置に、新しい原基を撒いてみたのである。繰りかえすが、ランダムな位置にである。黄金角もヘチマもない。それぞれの原基は、勝手に外側に移動し、任意の位置に詰め込まれていく。初期の詰め込まれ方は、もちろんがたがたであるが、徐々に、外側のフィボナッチらせんに組み込まれていき、


最終的には、きれいなフィボナッチらせんになってしまった。(青い原基が、あとから撒いたもの)

 

どうしてこんなことが起きるのだろうか。内側に撒かれた原基は、明らかに、なんの情報も持っていない。だから、詰め込みパターンは、外側の原基の集団の詰め込みパターンに強制されておきているはずである。ということは、既存のフィボナッチらせんの配列自体に、後続の原基を、フィボナッチらせんに並ばせる能力がある、ということになる。一度、フィボナッチ螺旋パターンができてしまえば、後は、黄金角など、さほど気にしなくても、ちゃんとしたフィボナッチ螺旋ができるのだ。

 

ロシアンヒマワリを良~く見てみると、、、

なんだか、意外な結論になってしまったが、本当だろうか?

実はこれが本当である傍証もある。

上のロシアンヒマワリを見てほしい。外側の種はきれいなフィボナッチらせんを描いて詰め込まれているのに、内側の種の並びは、かなりぐだぐだである。もし、原基が正確に黄金角で出現するのであれば、出現から時間を経ていない内側の種の方が、より正確に並んでいるはずである。「外側の方が正確ならせんを描く」、ということは、詰め込みの作用で螺旋の並びが作られていることの証拠であるといえる。

 

ロシアンヒマワリ攻略終了!

以上で解説は終わりである。要約すると、

① 小さいフィボナッチ数のらせん列は、原基が黄金角に近い角度で出現することにより作られる。

② 詰め込みにより、らせん列パターンは動的に保存されるので、大きいフィボナッチ数のらせん列への遷移が可能になる。

③ 詰め込みにより、後続の原基も、らせん列パターンに組み込まれるのが強制されるため、回転角度(黄金角)に多少の乱れがあっても、フィボナッチ螺旋パターンは安定に維持される。

となる。


やれやれ、これで、自分としてはかなりすっきりして、ロシアンヒマワリも攻略できたように思うのだが、読者の皆さんはどうだろうか?まだ、シミュレーションプログラム自体にも、改善の余地がいろいろあると思うが、せっかくここまでやったので、正式な論文として発表する予定でいます。もし、「このあたりの推論が間違っている」とかのご意見があれば、大変助かりますので、お聞かせいただければ、幸甚です。(メール、あるいはこのコラムへのコメント欄をご利用ください。)




この詰め込み法の考え方は、非常に古くからありますが、このコラムで使ったシミュレーションは以下の論文の考察を参考にしたものです。この論文で著者らは、原基間の位置関係を変えることなく、斜列線遷移を起こしています。筆者(近藤)はどちらかというと、より、生物っぽいシミュレーションで同じことを示しました。


Golé C, Dumais J, Douady S. Fibonacci or quasi-symmetric phyllotaxis. Part I: why? Acta Soc Bot Pol. 2016;85(4):3533.








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Shigeru Kondo, Ph.D. Professor


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